Question

6．如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=$\sqrt{3}$+1，AD=$\sqrt{3}$．
（1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的D′處，壓平折痕交CD于點E，則折痕AE的長為$\sqrt{6}$．
（2）如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點F，則四邊形B′FED′的面積為$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$．
（3）如圖④，將圖②中的△AED′繞點E順時針旋轉α角，得△A′ED″，使得EA′恰好經過頂點B，求弧D′D″的長$\frac{5\sqrt{3}π}{12}$．（結果保留π）

Answer 1

分析 （1）先根據圖形反折變換的性質得出AD′，D′E的長，再根據勾股定理求出AE的長即可；
（2）由（1）知，AD′=$\sqrt{3}$，故可得出BD′的長，根據圖形反折變換的性質可得出B′D′的長，再由等腰直角三角形的性質得出B′F的長，根據梯形的面積公式即可得出結論；
（3）先根據直角三角形的性質求出∠BEC的度數，由翻折變換的性質可得出∠DEA的度數，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧長公式即可得出結論．

解答 解：（1）∵△ADE反折后與△AD′E重合，
∴AD′=AD=D′E=DE=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{AD{′}^{2}+D′{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$；
（2）∵由（1）知AD′=$\sqrt{3}$，
∴BD′=1，
∵將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，
∴B′D′=BD′=1，
∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=$\sqrt{3}$，
∴四邊形ADED′是正方形，
∴B′F=AB′=$\sqrt{3}$-1，
∴S_{梯形B′FED′}=$\frac{1}{2}$（B′F+D′E）•B′D′=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{3}$）×1=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$；
故答案為：（1）$\sqrt{6}$；（2）$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$；
（3）∵∠C=90°，BC=$\sqrt{3}$，EC=1，
∴tan∠BEC=$\frac{BC}{CE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BEC=60°，
由翻折可知：∠DEA=45°，
∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，
∴$\widehat{D′D″}$=$\frac{75π•\sqrt{3}}{180}$=$\frac{5\sqrt{3}π}{12}$．

點評 本題考查的是圖形的翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．