Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO為直角三角形，∠ABO=90°，∠AOB=30°，AB=$\sqrt{3}$．
（1）則點A的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$）．（直接寫答案，不需證明）
（2）若C點坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0）時，P為OA上一動點，求PC+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正切函數(shù)即可求得；
（2）過點C作C關(guān)于OA的對稱點C′，連接BC′與OA相交，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題BC′與OA的交點即為所求的點P，PB+PC的最小值=BC′，過點C′作C′D⊥OB于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出BD，再利用勾股定理列式計算即可得解．

解答 解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO為直角三角形，∠ABO=90°，∠AOB=30°，AB=$\sqrt{3}$．
∴tan30°=$\frac{AB}{OB}$，
∴OB=$\frac{AB}{tan30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$3，
∴A（3，$\sqrt{3}$），
故答案為（3，$\sqrt{3}$）．
（2）如圖，過點C作C關(guān)于OA的對稱點C′，連接BC′與OA相交，
則BC′與OA的交點即為所求的點P，PB+PC的最小值=BC′，
過點C′作C′D⊥OB于D，
∵點C的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），且∠AOB=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$，CC′=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∠OCC′=90°-30°=60°，
∴CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，C′D=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵頂點A的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$），點C的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），∠ABO=90°，
∴BC=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴BD=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{11}{4}$，
在Rt△AC′D中，由勾股定理得，BC′=$\sqrt{（\frac{11}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．
故PC+PB的最小值為$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

點評 本題考查了軸對稱確定最短路線問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點P的位置以及表示PA+PC的最小值的線段是解題的關(guān)鍵．