Question

2．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AB；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠DOE=60°，其中正確的結(jié)論數(shù)是（　�。�

• A． 2個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 4個(gè)
• D． 5個(gè)

Answer 1

分析 首先證明△ADC≌△BEC可得AD=BE；證明△CDP≌△CEQ可得CP=CQ，然后可得∠QPC=∠BCA，進(jìn)而可證明PQ∥AE；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DP=QE，AD=BE，進(jìn)而可得AP=BQ；根據(jù)三角形大角對(duì)大邊可得DE＞QE，進(jìn)而可得DE＞DP；根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠AOB=∠DCE=60°，再由對(duì)頂角相等可得∠DOE=60°．

解答 解：①∵△ABC和△CDE是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ADC和△BEC中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE（故①正確）；

②∵∠BCA=∠∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵△ADC≌△BEC，
∴∠ADC=∠BEC，
在△CDP和△CEQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠DCP}\\{CD=CE}\\{∠CEQ=∠CDP}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正確）；

③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP=QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE，
∴AD-DP=BE-QE，
∴AP=BQ，（故③正確）；

④∵DE＞QE，且DP=QE，
∴DE＞DP，（故④錯(cuò)誤）；

⑤∵∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，
∴∠DOE=60°，（故⑤正確）．
∴正確的有：①②③⑤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合，同學(xué)們要熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)；得到三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．