Question

7．△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OD⊥OB，交邊BC于點(diǎn)D．
（1）如圖1，猜想∠AOC與∠ODC的關(guān)系，并說明你的理由；
（2）如圖2，作∠ABC外角∠ABE的平分線交CO的延長線于點(diǎn)F．
①求證：BF∥OD；
②若∠F=40°，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義得到∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC），∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，由三角形的內(nèi)角和得到∠AOC=90°+∠OBC，∠ODC=90°+∠OBD，于是得到結(jié)論；
（2）①由角平分線的性質(zhì)得到∠EBF=90°-∠DBO，由三角形的內(nèi)角和得到∠ODB=90°-∠OBD，于是得到結(jié)論；②由角平分線的性質(zhì)得到∠FBE$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB），∠FCB=$\frac{1}{2}∠$ACB，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∠AOC=∠ODC，
理由：∵三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC），
∵∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC=90°+∠OBC，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD=90°，
∴∠ODC=90°+∠OBD，
∴∠AOC=∠ODC；

（2）①∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF=$\frac{1}{2}$∠ABE=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）=90°-∠DBO，
∵∠ODB=90°-∠OBD，
∴∠FBE=∠ODB，
∴BF∥OD；
②∵BF平分∠ABE，
∴∠FBE=$\frac{1}{2}∠$ABE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB），
∵三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，
∴∠FCB=$\frac{1}{2}∠$ACB，
∵∠F=∠FBE-∠BCF=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）-$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}∠$BAC，
∵∠F=40°，
∴∠BAC=2∠F=80°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．