Question

5．如圖，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，AC=8，tanB=$\frac{4}{3}$，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線AC的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，射線PD交射線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是線段BE的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)PA=x，CE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；
（2）以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的⊙Q和⊙P相切時(shí)，求⊙P的半徑；
（3）射線PQ與⊙P相交于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)PC、MC，當(dāng)△PMC是等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD，垂足為點(diǎn)H，利用已知條件以及勾股定理可分別得到PH，AH，AD，CD的長(zhǎng)，再由PH∥BE，可得$\frac{PH}{CE}=\frac{DH}{CD}$，所以$\frac{\frac{3x}{5}}{y}=\frac{\frac{4x}{5}}{8-\frac{8x}{5}}$，進(jìn)而可求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）首先利用已知條件得到BQ，PQ的長(zhǎng)，再分兩種情況：①當(dāng)⊙Q和⊙P外切時(shí)，②當(dāng)⊙Q和⊙P內(nèi)切時(shí)，分別討論求出⊙P的半徑即可；
（3）當(dāng)△PMC是等腰三角形，存在以下幾種情況：①當(dāng)MP=MC=x時(shí)，②當(dāng)CP=CM時(shí)，③當(dāng)PM=PC=x時(shí)，分別討論求出符合題意的x值即可得到AP的長(zhǎng)．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD，垂足為點(diǎn)H，
∵∠ACB=90°，tanB=$\frac{4}{3}$，
∴sinA=$\frac{3}{5}$，
∵PA=x，
∴PH=$\frac{3}{5}$x，
∵∠PHA=90°，
∴PH²+AH²=PA²，
∴AH=$\frac{4}{5}$x．
∵在⊙P中，PH⊥弦AD，
∴DH=AH=$\frac{4}{5}$x，
∴AD=$\frac{8}{5}$x，
又∵AC=8，
∴CD=8-$\frac{8}{5}$x，
∵∠PHA=∠BCA=90°，
∴PH∥BE，
∴$\frac{PH}{CE}=\frac{DH}{CD}$，
∴$\frac{\frac{3x}{5}}{y}=\frac{\frac{4x}{5}}{8-\frac{8x}{5}}$，
∴y=6-$\frac{6}{5}$x（0＜x＜5）；
（2）∵PA=PD，PH⊥AD，
∴∠1=∠2，
∵PH∥BE，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∴PB=PE，
∵Q是BE的中點(diǎn)，
∴PQ⊥BE，
∴tanB=$\frac{PQ}{BQ}$=$\frac{4}{3}$，
∴cosB=$\frac{BQ}{BP}=\frac{3}{5}$，
∵PA=x，
∴PB=10-x，
∴BQ=6-$\frac{3}{5}$x，PQ=8-$\frac{4}{5}$x，
①當(dāng)⊙Q和⊙P外切時(shí)：PQ=AP+BQ
∴8-$\frac{4}{5}$x=x+6-$\frac{3}{5}$x，
∴x=$\frac{5}{3}$；
②當(dāng)⊙Q和⊙P內(nèi)切時(shí)，此時(shí)⊙P的半徑大于⊙Q的半徑，則PQ=AP-BQ，
∴8-$\frac{4}{5}$x=x-（6-$\frac{3}{5}$x），
∴x=$\frac{35}{6}$，
∴當(dāng)⊙Q和⊙P相切時(shí)，⊙P的半徑為$\frac{5}{3}$或$\frac{35}{6}$．
（3）當(dāng)△PMC是等腰三角形，存在以下幾種情況：
①當(dāng)MP=MC=x時(shí)，
∵QC=6-（6-$\frac{3}{5}$x）=$\frac{3}{5}$x，
∴MQ=$\frac{4}{5}$x，
若M在線段PQ上時(shí)，PM+MQ=PQ，
∴x+$\frac{4}{5}$x=8-$\frac{4}{5}$x，
∴x=$\frac{40}{13}$；
若M在線段PQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，PM-MQ=PQ，
∴x-$\frac{4}{5}$x=8-$\frac{4}{5}$x，
∴x=8；
②當(dāng)CP=CM時(shí)，
∵CP=CM，CQ⊥PM，
∴PQ=QM=$\frac{1}{2}$PM=$\frac{1}{2}$x，
∴x-$\frac{4}{5}$x=$\frac{1}{2}$x，
∴x=$\frac{80}{13}$，
③當(dāng)PM=PC=x時(shí)，
∵AP=x，
∴PA=PC，
又∵PH⊥AC，
∴AH=CH，
∵PH∥BE，
∴$\frac{AP}{BP}=\frac{AH}{CH}=1$，
∴$\frac{x}{10-x}=1$，
∴x=5．
綜上所述：當(dāng)△PMC是等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為$\frac{40}{13}$或$\frac{80}{13}$或5或8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握兩圓相切的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算；能運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解題是答題關(guān)鍵，題目的綜合性很強(qiáng)，牽扯到的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)學(xué)生的綜合解題能力要求很高．