Question

7．在坐標平面內(nèi)，如果一個凸四邊形的兩條對角線分別平行于坐標軸，且有一條對角線恰好平分另一條對角線，則把這樣的凸四邊形稱為坐標平面內(nèi)的“箏狀四邊形”．
（1）已知箏狀四邊形ABCD的三個頂點坐標為A（3，2），B（5，1），C（8，2），則頂點D的坐標為多少．
（2）如果箏狀四邊形ABCD的三個頂點坐標為A（-6，-3），B（-4，-6），C（-2，-3），則頂點D縱坐標y的取值范圍為多少．
（3）已知面積為30的箏狀四邊形ABCD相鄰兩個頂點的坐標分別為A（3，1），B（6，3），其中一條對角線長為6，M，N分別是AB，BC的中點，P為對角線上一動點，連結MN，MP，NP，試求△MNP周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“箏狀四邊形”的定義即可求出點D坐標．
（2）畫出圖形，即可判定點D的縱坐標y的取值范圍．
（3）分兩種情形討論①當點P在對角線AC上時，作點M關于AC的對稱點K，連接KN交AC于點P，此時△PMN的周長最�。�②當點P在對角線BD上時，△PMN的周長的最小值不存在．

解答 解：（1）如圖1中，

由題意AC垂直平分線段線段BD，可知B、D關于直線AC對稱，
∵A（3，2），B（5，1），C（8，2），
∴D（5，3）．

（2）如圖2中，

由題意可知，BD垂直平分線段AC，
∵四邊形ABCD是凸四邊形，A（-6，-3），B（-4，-6），C（-2，-3），
∴頂點D縱坐標y的取值范圍：y＞-3．

（3）如圖3中，

①當點P在對角線AC上時，作點M關于AC的對稱點K，連接KN交AC于點P，此時△PMN的周長最�。�
由題意A（3，1），B（6，3），
∵對角線BD=6，
∴D（0，3），
∵$\frac{1}{2}$×6×AC=30，
∴AC=10，
∴C（3，11），
∴M（4.5，2），N（4.5，7），K（1.5，2）
∴MN=5，KN=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
△PMN的周長的最小值為$\sqrt{34}$+5．
②當M，N分別是AB，BC′的中點，P′為對角線AC′上一動點，同法可求△P′M′N′周長的最小值為3+$\sqrt{13}$．
∴△PMN的周長的最小值問題$\sqrt{34}$+5或3+$\sqrt{13}$．

點評 本題考查三角形綜合題、軸對稱-最短問題、“箏狀四邊形”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考創(chuàng)新題目．