Question

20．如圖，矩形紙片ABCD中，AD=1，AB=2．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB、CD交于點(diǎn)G、F，AE與FG交于點(diǎn)O．當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于BC的中點(diǎn)N．則折痕FG的長(zhǎng)為$\frac{17}{15}$．

Answer 1

分析 連接NO并延長(zhǎng)交AD于M，得到OM=$\frac{1}{2}$CD，設(shè)DE=x，則MO=$\frac{1}{2}$x，表示出AE、DE，在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，繼而可得出折痕FG的長(zhǎng)度．

解答 解：連接NO并延長(zhǎng)交AD于M，
∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N，
∴ON⊥BC，MN⊥AD，
∴MN=AB=CD，
∵點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，
∴ON=$\frac{1}{2}$AB，
∴OM=$\frac{1}{2}$CD，

設(shè)DE=x，則MO=$\frac{1}{2}$x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
故AE為△AED的外接圓的直徑．
延長(zhǎng)MO交BC于點(diǎn)N，則ON∥CD，
∵四邊形MNCD是矩形，
∴MN=CD=2，
∴ON=MN-MO=2-$\frac{1}{2}$x，
∵△AED的外接圓與BC相切，
∴ON是△AED的外接圓的半徑，
∴OE=ON=2-$\frac{1}{2}$x，AE=4-x，
在Rt△AED中，AD²+DE²=AE²，
∴1²+x²=（4-x）²，
得x=DE=$\frac{15}{8}$，OE=2-$\frac{1}{2}$x=$\frac{17}{16}$，
∵△FEO∽△AED，
∴$\frac{OE}{DE}$=$\frac{OF}{AD}$，
解得：FO=$\frac{17}{30}$，
∴FG=2FO=$\frac{17}{15}$．
故折痕FG的長(zhǎng)是$\frac{17}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，翻折變換，矩形的判定，關(guān)鍵在于得出ON、OE均是△AED的外接圓的半徑，難度較大．