Question

15．如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AP是⊙O的切線．已知AC=4，BC=5．

（1）求證：∠PAC=∠ABC；
（2）作∠BAC的平分線，與⊙O相交于點D，與BC相交于點E，連接并延長DC，與AP相交于點F（如圖2），若AE=AC，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）作直徑AQ，連接QC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠PAQ=90°，求出∠PAC+∠CAQ=90°，根據(jù)圓周角定理得出∠ACQ=90°，∠PAC=∠Q，即可求出答案；
（2）求出∠AEC=∠ACE，∠FAC=∠ABC，根據(jù)相似三角形的判定得出△FAC∽△ABC，得出比例式，代入求出即可．

解答 （1）證明：
作直徑AQ，連接QC，
∵AP是⊙O的切線，
∴∠PAQ=90°，
∴∠PAC+∠CAQ=90°，
∵AQ是直徑，
∴∠ACQ=90°，
∴∠CAQ+∠Q=90°，
∴∠PAC=∠Q，
∵∠Q=∠ABC，
∴∠PAC=∠ABC；

（2）解：∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ACF=∠ADC+∠CAD=∠ABC+∠BAD=∠AEC，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE，
由（1）知：∠FAC=∠ABC，
∴△FAC∽△ABC，
∴$\frac{CF}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，
即$\frac{CF}{4}$=$\frac{4}{5}$，
∴CF=$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度適中．