Question

7．如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（2，3），雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0），的圖象經(jīng)過BC上的點D與AB交于點E，連接DE，若若E是AB的中點﹒
（1）求D點的坐標；
（2）點F是OC邊上一點，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式；
（3）若點P（m，3m+6）也在此反比例函數(shù)的圖象上（其中m＞0），過P點作x軸的垂線，交x軸于點M，若線段PM上存在一點Q，使得△OQM的面積是$\frac{1}{2}$，設(shè)Q點的縱坐標為n，求n²-2n+9的值．

Answer 1

分析 （1）先求出點E的坐標，求出雙曲線的解析式，再求出CD=1，即可得出點D的坐標；
（2）分兩種情況：①△FBC和△DEB相似，當BD和BC是對應(yīng)邊時，$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{CF}$，求出CF，得出F的坐標，用待定系數(shù)法即可求出直線BF的解析式；
②當BD與CF是對應(yīng)邊時，$\frac{BD}{BE}=\frac{CF}{BC}$，求出CF、OF，得出F的坐標，用待定系數(shù)法即可求出直線BF的解析式；
（3）由題意得出m（3m+6 ）=3，即m²+2m-1=0，由三角形的面積得出m•n=1，代入得出n²-2n=1，即可得出所求式子的值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=BC，AB=OC，
∵B（2，3），E為AB的中點，
∴AB=OC=3，OA=BC=2，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
∴E（2，$\frac{3}{2}$），
∴k=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴雙曲線解析式為：y=$\frac{3}{x}$；
∵點D在雙曲線y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上，
∴OC•CD=3，
∴CD=1，
∴點D的坐標為：（1，3）；
（2）∵BC=2，CD=1，
∴BD=1，
分兩種情況：
①△FBC和△DEB相似，當BD和BC是對應(yīng)邊時，$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{CF}$，
即$\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{CF}$，
∴CF=3，
∴F（0，0），
即F與O重合，
設(shè)直線BF的解析式為：y=kx，
把點B（2，3）代入得：k=$\frac{3}{2}$，
∴直線BF的解析式為：y=$\frac{3}{2}$x；
②△FBC和△DEB相似，當BD與CF是對應(yīng)邊時，$\frac{BD}{BE}=\frac{CF}{BC}$，
即$\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{CF}{2}$，
∴CF=$\frac{4}{3}$，
∴OF=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴F（0，$\frac{5}{3}$），
設(shè)直線BF的解析式為：y=ax+c，
把B（2，3），F(xiàn)（0，$\frac{5}{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+c=3}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{2}{3}$，c=$\frac{5}{3}$，
∴直線BF的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$；
綜上所述：若△FBC和△DEB相似，BF的解析式為：y=$\frac{3}{2}$x，或y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$；
（3）∵點P（m，3m+6）在反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象上，
∴m（3m+6 ）=3，
整理得：m²+2m-1=0，
∵PQ⊥x軸，
∴Q點的坐標為：（m，n）
∵△OQM的面積為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OM•QM=$\frac{1}{2}$，
∴OM•QM=1，
∵m＞0，
∴m•n=1
∴m=$\frac{1}{n}$，
代入m²+2m-1=0得：$\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{2}{n}$-1=0，
即n²-2n-1=0，
∴n²-2n=1，
∴n²-2n+9=10．

點評 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、三角形面積的計算等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）中，需要進行分類討論，運用相似三角形的性質(zhì)求出點的坐標才能得出結(jié)果．