Question

12．如圖，直角坐標系中，點A（3，0）、B（0，4）分別位于x軸和y軸上，點C在x軸的負半軸上，且∠ACB=60°，在y軸正半軸上有一點M，以M為圓心，MO為半徑作⊙M與BA相切，若保持圓的大小不變，△ABC位置不變，將⊙M向右平移$\frac{\sqrt{3}}{6}$個單位，⊙M與BC相切．

Answer 1

分析 先利用勾股定理計算出AB=5，作MD⊥AB于D，設⊙M的半徑為R，則OM=r，BM=4-r，根據(jù)切線的性質(zhì)得MD=r，通過證明△BMD∽△BAO得到$\frac{MD}{OA}$=$\frac{BM}{BA}$，可求出解得r=$\frac{3}{2}$，即OM=$\frac{3}{2}$，接著在Rt△BOC中，利用∠BCO的正切可求出OC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，將⊙M向右平移到⊙M′，使⊙M′與BC相切，如圖，作M′E⊥x軸于E，M′F⊥BC于F，連結CM′，易得四邊形OMM′E為矩形，則MM′=OE，M′E=OM=$\frac{3}{2}$，根據(jù)切線長定理得到∠ECM′=30°，在Rt△ECM′中，利用∠ECM′得正切可計算出CE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，則OE=CE-OC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，所以MM′=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，即保持圓的大小不變，△ABC位置不變，將⊙M向右平移$\frac{\sqrt{3}}{6}$個單位，⊙M與BC相切．

解答 解：在Rt△OAB中，∵OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
作MD⊥AB于D，設⊙M的半徑為R，則OM=r，BM=4-r
∵以M為圓心，MO為半徑作⊙M與BA相切，
∴MD=r，
∵∠MBD=∠ABO，
∴△BMD∽△BAO，
∴$\frac{MD}{OA}$=$\frac{BM}{BA}$，即$\frac{r}{3}$=$\frac{4-r}{5}$，解得r=$\frac{3}{2}$，
即OM=$\frac{3}{2}$，
在Rt△BOC中，∵tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$，
∴OC=$\frac{4}{tan60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
將⊙M向右平移到⊙M′，使⊙M′與BC相切，如圖，作M′E⊥x軸于E，M′F⊥BC于F，連結CM′，則四邊形OMM′E為矩形，MM′=OE，M′E=OM=$\frac{3}{2}$，
∵CA和CB都與⊙M′相切，
∴M′C平分∠ECF，
∴∠ECM′=30°，
在Rt△ECM′中，∵tan∠ECM′=$\frac{M′E}{CE}$，
∴CE=$\frac{\frac{3}{2}}{tan30°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=CE-OC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴MM′=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
即保持圓的大小不變，△ABC位置不變，將⊙M向右平移$\frac{\sqrt{3}}{6}$個單位，⊙M與BC相切．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形．