Question

15．在直角三角形ABC中，CD、CE分別是斜邊AB上的高、中線，BC=a，AC=b
（1）若a=3，b=4，求DE的長．
（2）若tan∠DCE=$\frac{1}{3}$，求$\frac{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）先解Rt△ABC，求出AB=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=5，cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$．根據(jù)三角形的中線的定義得到BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$．再解Rt△BCD，求出BD=BC•cos∠B=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，那么DE=BE-BD=$\frac{5}{2}$-$\frac{9}{5}$=$\frac{7}{10}$；
（2）先解Rt△ABC，求出AB=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$．利用三角形的面積求出CD=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$．再解Rt△BCD，求出BD=BC•cos∠B=a•$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，那么DE=BE-BD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，然后根據(jù)tan∠DCE=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{\frac{^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}}{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}}$=$\frac{1}{3}$，計算即可求解．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，a=3，b=4，
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=5，cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$．
∵CE是斜邊AB上的中線，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，
∴BD=BC•cos∠B=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴DE=BE-BD=$\frac{5}{2}$-$\frac{9}{5}$=$\frac{7}{10}$；

（2）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，
∴BD=BC•cos∠B=a•$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
∴DE=BE-BD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$-$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
tan∠DCE=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{\frac{^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}}{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}}$=$\frac{1}{3}$，
整理得3a²+2ab-3b²=0，
∴a=$\frac{-1±\sqrt{10}}{3}$b（負(fù)值舍去），
∴$\frac{a}$=$\frac{-1+\sqrt{10}}{3}$．

點評 本題考查了解直角三角形，三角形的中線的定義，銳角三角函數(shù)的定義，三角形的面積，一元二次方程的解法，難度適中．求出DE的長度是解題的關(guān)鍵．