Question

13．如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)且∠BOD=60°，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線CD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，E為$\widehat{AD}$的中點(diǎn)，連接DE，EB．
（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；
（2）已知圖中陰影部分面積為12π，求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析 （1）由∠BOD=60°得到E為$\widehat{AD}$的中點(diǎn)，得到$\widehat{AE}$，于是得到DE∥BC，根據(jù)CD是⊙O的切線，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可證得四邊形BCDE是平行四邊形；
（2）連接OE，由（1）知，$\widehat{AE}$，得到∠BOE=120°，根據(jù)扇形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵CD是⊙O的切線，∴∠CDO=90°，∵∠BOD=60°，
∴∠C=30°，∠AOD=120°，
∵E為 $\widehat{AD}$的中點(diǎn)，
∴∠AOE=∠DOE=60°，
∴∠BOE=120°，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE=30°，
∴∠C=∠OBE=∠E，
∴DE∥BC，BE∥CD，
∴四邊形BCDE是平行四邊形；

（2）連接OE，由（1）知，$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BOE=120°，
∵陰影部分面積為6π，
∴$\frac{60•π•{r}^{2}}{360}$=12π，
∴r=6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，扇形的面積公式，垂徑定理，證明$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$是解題的關(guān)鍵．