Question

12．如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足E為BC中點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)為DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=2，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD，得出∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，再由已知條件和鄰補(bǔ)角關(guān)系求出∠AFD=∠C，即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得出AD=AB=BC=2，由勾股定理求出AE、DE，再由相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出AF的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=2，
∵AE⊥BC，E為BC中點(diǎn)，
∴AE⊥AD，BE=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴∠DAE=90°，AE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AD}{DE}$，
即$\frac{AF}{2}=\frac{2}{\sqrt{7}}$，
解得：AF=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．