Question

已知：關(guān)于x的函數(shù)y=kx²+k²x-2的圖象與y軸交于點C，
（1）當k=-2時，求圖象與x軸的公共點個數(shù)；
（2）若圖象與x軸有一個交點為A，當△AOC是等腰三角形時，求k的值．
（3）若k≥1時函數(shù)y隨著x的增大而減小，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點（或者把k=2代入函數(shù)關(guān)系，直接求得拋物線與x軸的交點橫坐標）；
（2）根據(jù)△AOC是等腰直角三角形易求點A的坐標為（2，0）或（-2，0）．把點A的坐標代入函數(shù)解析式，通過方程來求k的值；
（3）由“k≥1時函數(shù)y隨著x的增大而減小”可知，拋物線開口向下．則k＜0，且對稱軸在直線x=1的左側(cè)，故-

k2

2k

≤1，即-

k

2

≤1．

解答：解 （1）方法一：當k=-2時，函數(shù)為y=-2x²+4x-2，
∵b²-4ac=4²-4×（-2）×（-2）=0
∴圖象與x軸公共點只有一個．
方法二：當k=-2時，函數(shù)為y=-2x²+4x-2，
令y=0，則-2x²+4x-2=0，
解得：x₁=x₂=1，
∴圖象與x軸公共點只有一個；

（2）當△AOC是等腰三角形時，
∵∠AOC=90°，OC=2，
∴可得OA=OC=2
∴點A的坐標為（2，0）或（-2，0）．
把x=2，y=0代入解析式 得2k²+4k-2=0，
解得 k₁=-1+

2

，k₁=-1-

2

，
把x=-2，y=0代入解析式 得-2k²+4k-2=0，
解得 k₁=-k₁=1．
∴k的值為-1+

2

或-1-

2

或1；

（3）由“k≥1時函數(shù)y隨著x的增大而減小”可知，拋物線開口向下，
∴k＜0，且對稱軸在直線x=1的左側(cè)，
∴-

k2

2k

≤1，即-

k

2

≤1．
解不等式組

k＜0 - k 2 ≤1

，
解得-2≤k＜0．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，等腰三角形的性質(zhì)．熟悉判別式和二次函數(shù)與x軸交點的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．