Question

8．如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．當(dāng)△PAC為直角三角形時點P的坐標(biāo)（3，5）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{2}$）．

Answer 1

分析 由于P點不可能為直角頂點，因此就只有兩種情況：若A為直角頂點，過A作AB的垂線與拋物線的交點即為C點，過C作y軸的平行線與AB的交點即為P點；若C為直角頂點，過A作x軸的平行線與拋物線的另一個交點即為C點，過C作y軸的平行線與AB的交點即為P點．

解答 解：∵直線y=x+2過點B（4，m），
∴m=6，
∴B（4，6）．
將A、B兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+6=6}\\{\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+6=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為：y=2x²-8x+6．
①若A為直角頂點，如圖1，

設(shè)AC的解析式為：y=-x+b，
將A點代入y=-x+b得b=3
∴AC的解析式為y=-x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=2{x}^{2}-8x+6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$（舍去）
令P點的橫坐標(biāo)為3，則縱坐標(biāo)為5，
∴P（3，5）；
②若C為直角頂點，如圖2，

令$2{x}^{2}-8x+6=\frac{5}{2}$，解得：x=$\frac{7}{2}$或x=$\frac{1}{2}$（舍去），
令P點的橫坐標(biāo)為$\frac{7}{2}$，則縱坐標(biāo)為$\frac{11}{2}$，
∴P（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{2}$）；

故答案為：（3，5）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{2}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相互垂直的兩條直線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、解二元二次方程組、解一元二次方程等知識點，有一定綜合性，并且作為填空題，具有一定難度．要求同學(xué)們具備較高的分析問題的能力以及一定的計算能力，同時，分類討論思想也是本題的亮點．