Question

16．如圖，已知線段AB長(zhǎng)度是4，以AB為邊作正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)M，N在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，且MN=3，如果點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿著A→B→C→D→A的路線，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，MN的中點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)度是3π+4．

Answer 1

分析 當(dāng)點(diǎn)M在AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0）．由勾股定理得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)關(guān)系式，從而得到此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以A為圓心以$\frac{3}{2}$為半徑的圓周長(zhǎng)的$\frac{1}{4}$，當(dāng)3＜m≤4時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為線段EF，最后可知點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡為3π+4．

解答 解：當(dāng)點(diǎn)M在AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0）．
在Rt△MNA中，AN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{9-{m}^{2}}$，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{9-{m}^{2}}$）．
由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{m}{2}$，$\frac{\sqrt{9-{m}^{2}}}{2}$）．
∵x=$\frac{m}{2}$，y=$\frac{\sqrt{9-{m}^{2}}}{2}$，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{9}{4}$．
∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為以A為圓心以$\frac{3}{2}$為半徑的圓周長(zhǎng)的$\frac{1}{4}$．
當(dāng)3＜m≤4時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為線段EF．
同理可得到點(diǎn)M在BC、CD、DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡．
點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，MN的中點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路線如圖所示：

∴點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路線=（$\frac{1}{4}$×2$π×\frac{3}{2}$+1）×4=3π+4．
故答案為：3π+4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，求得當(dāng)0≤m≤3時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．