Question

20．如圖，有-個面積為1的正方形紙板，第一次剪掉這塊正方形紙板的一半，第二次剪掉剩下的一半，以此類推．問：
（1）第3次剪掉的面積是$\frac{1}{8}$；第3次剪掉后剩下的面積是$\frac{1}{8}$；
（2）第n次剪掉的面積是$\frac{1}{{2}^{n}}$；第n次剪掉后剩下的面積是$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（3）受此啟發(fā)，請計算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（4）第（3）小題我們是借助圖形解決了數(shù)的運算問題，這是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．

Answer 1

分析 （1）（2）第1次剪掉的面積是$\frac{1}{2}$；第1次剪掉后剩下的面積是1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；第2次剪掉的面積是$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；第3次剪掉后剩下的面積是$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；第3次剪掉的面積是$\frac{1}{8}$；第3次剪掉后剩下的面積是$\frac{1}{8}$；…由此規(guī)律得出答案即可；
（3）由此利用1減去最后剩下的面積計算得出$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$的結(jié)果；
（4）數(shù)形結(jié)合的思想運用．

解答 解：（1）第3次剪掉的面積是$\frac{1}{8}$；第3次剪掉后剩下的面積是$\frac{1}{8}$；
（2）第n次剪掉的面積是$\frac{1}{{2}^{n}}$；第n次剪掉后剩下的面積是$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（3）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（4）第（3）小題我們是借助圖形解決了數(shù)的運算問題，這是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．

點評 此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．