Question

12．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E，交AB延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若AB=10，AE=8，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD、AD，由AB=AC且∠ADB=90°知D是BC的中點(diǎn)，由O是AB中點(diǎn)知OD∥AC，根據(jù)OD⊥DE可得；
（2）證△ODF∽△AEF得$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OF}{AF}$，據(jù)此可得答案．

解答 解：（1）連接OD、AD，

∵DE切⊙O于點(diǎn)D，
∴OD⊥DE，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴D是BC的中點(diǎn)，
又∵O是AB中點(diǎn)，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；

（2）∵AB=10，
∴OB=OD=5，
由（1）得OD∥AC，
∴△ODF∽△AEF，
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OF}{AF}$=$\frac{BF+OB}{BF+AB}$，
設(shè)BF=x，AE=8，
∴$\frac{5}{8}$=$\frac{x+5}{x+10}$，
解得：x=$\frac{10}{3}$，
經(jīng)檢驗(yàn)x=$\frac{10}{3}$是原分式方程的根，且符合題意，
∴BF=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．