Question

11．有一家苗圃計劃植桃樹和柏樹，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植桃樹的利潤y₁（萬元）與投資成本x（萬元）滿足如圖①所示的二次函數(shù)y₁=ax²；種植柏樹的利潤y₂（萬元）與投資成本x（萬元）滿足如圖②所示的正比例函數(shù)y₂=kx．

（1）分別求出利潤y₁（萬元）和利潤y₂（萬元）關于投資成本x（萬元）的函數(shù)關系式；
（2）如果這家苗圃以10萬元資金投入種植桃樹和柏樹，桃樹的投資成本不低于2萬元且不高于8萬元，苗圃至少獲得多少利潤？最多能獲得多少利潤？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求兩個函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)總投資成本為10萬元，設種植桃樹的投資成本x萬元，總利潤為W萬元，則種植柏樹的投資成本（10-x）萬元，列函數(shù)關系式，發(fā)現(xiàn)是二次函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，找出當2≤x≤8時的最小利潤和最大利潤．

解答 解：（1）把（4，1）代入y₁=ax²中得：
16a=1，
a=$\frac{1}{16}$，
∴y₁=$\frac{1}{16}$x²，
把（2，1）代入y₂=kx中得：
2k=1，
k=$\frac{1}{2}$，
∴y₂=$\frac{1}{2}$x；
（2）設種植桃樹的投資成本x萬元，總利潤為W萬元，則種植柏樹的投資成本（10-x）萬元，
則W=y₁+y₂=$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{2}$（10-x）=$\frac{1}{16}$（x-4）²+4，
由圖象得：當2≤x≤8時，當x=4時，W有最小值，W_小=4，
當x=8時，W有最大值，W_大=$\frac{1}{16}$（8-4）2+4=5，
答：苗圃至少獲得4萬元利潤，最多能獲得5萬元利潤．

點評 本題是二次函數(shù)和一次函數(shù)的應用，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；對于二次函數(shù)，在求最值問題時，不一定都是頂點坐標，要根據(jù)實際情況和圖象結(jié)合考慮，得出結(jié)論．