Question

11．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），與y軸交于點C（0，-$\frac{3}{2}$）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點T為y軸正半軸上一點，直線AT與拋物線的另一個交點為點D，點P為直線AT下方的拋物線上一動點．
①若AD=5AT，求點T的坐標；
②當△ATP的面積的最大值為$\frac{9}{4}$，求點T的坐標．

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點式為y=a（x+1）（x-3），然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；
（2）①作DE⊥x軸于E，如圖1，先證明△AOT∽△AED，利用相似比得到AE=5，OT=$\frac{1}{5}$DE，則OE=4，即D點的橫坐標為4，利用拋物線解析式可得到D（4，$\frac{5}{2}$），則DE=$\frac{5}{2}$，于是可計算出OT=$\frac{1}{5}$DE=$\frac{1}{2}$，從而得到T點坐標；
②過點P作PF∥AT交y軸于F，如圖2，當直線PF與拋物線只有一個公共點P時，點P到直線AT的距離最大，根據(jù)三角形面積公式可判定此時△ATP的面積的最大，S_△APT=$\frac{9}{4}$，設(shè)T（0，t），利用S_△AFT=S_△APT=$\frac{9}{4}$可得到OF=TF-OT=$\frac{9}{2}$-t，則F（0，t-$\frac{9}{2}$），再表示出直線AT的解析式為y=tx+t，利用兩直線平行的問題可設(shè)直線PF的解析式為y=tx+t-$\frac{9}{2}$，根據(jù)拋物線與直線的交點問題列方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\\{y=tx+t-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，消去y得到$\frac{1}{2}$x²-（t+1）x+3-t=0，再根據(jù)判別式的意義得到關(guān)于t的方程，最后解關(guān)于t的方程即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-$\frac{3}{2}$）代入得a•1•（-3）=-$\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-3），即y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$；
（2）①作DE⊥x軸于E，如圖1，
∵DE∥OT，
∴△AOT∽△AED，
∴$\frac{AO}{AE}$=$\frac{OT}{DE}$=$\frac{AT}{AD}$，即$\frac{1}{AE}$=$\frac{OT}{DE}$=$\frac{1}{5}$，解得AE=5，OT=$\frac{1}{5}$DE，
∴OE=4，
當x=4時，y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$×16-4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴D（4，$\frac{5}{2}$），
∴DE=$\frac{5}{2}$，
∴OT=$\frac{1}{5}$DE=$\frac{1}{2}$，
∴T（0，$\frac{1}{2}$）；
②過點P作PF∥AT交y軸于F，如圖2，
當直線PF與拋物線只有一個公共點P時，點P到直線AT的距離最大，此時△ATP的面積的最大，S_△APT=$\frac{9}{4}$，
設(shè)T（0，t），
∵PF∥AT，
∴S_△AFT=S_△APT=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$•1•TF=$\frac{9}{4}$，解得TF=$\frac{9}{2}$，
∴OF=TF-OT=$\frac{9}{2}$-t，
∴F（0，t-$\frac{9}{2}$），
設(shè)直線AT的解析式為y=kx+t，把A（-1，0）代入得-k+t=0，解得k=t，
∴直線AT的解析式為y=tx+t，
∵直線PF與直線AT平行，
∴直線PF的解析式為y=tx+t-$\frac{9}{2}$，
列方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\\{y=tx+t-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，消去y得到$\frac{1}{2}$x²-（t+1）x+3-t=0，
△=（t+1）²-4•$\frac{1}{2}$•（3-t）=0，
整理得t²+4t-5=0，
解得t₁=1，t₂=-5（舍去），
∴T點坐標為（0，1）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的圖象上點的坐標特征和根的判別式的意義；會利用待定系數(shù)法法函數(shù)解析式，會求拋物線與一次函數(shù)圖象的交點坐標；能構(gòu)建相似三角形，利用相似比表示線段之間的關(guān)系．