Question

4．如圖，梯形AOBC的頂點A，C在反比例函數圖象上，OA∥BC，上底邊OA在直線y=x上，下底邊BC交y軸于B（0，-4），則四邊形AOBC的面積為2$\sqrt{5}$+10．

Answer 1

分析 根據AO∥BC，且直線BC經過B（0，-4），用待定系數法求出BE的解析式為y=x-4，再求出E、C兩點的坐標．根據C點坐標得出反比例函數解析式為y=$\frac{5}{x}$，然后把y=$\frac{5}{x}$與y=x組成方程組，求出A點坐標．根據勾股定理求出OA、BC的長度，易求梯形AOBC的高，從而求出梯形AOBC的面積．

解答 解：因為AO∥BC，上底邊OA在直線y=x上，
則可設BC的解析式為y=x+b，
將B（0，-4）代入上式得，b=-4，
BC的解析式為y=x-4．
把y=1代入y=x-4，得x=5，C點坐標為（5，1），
則反比例函數解析式為y=$\frac{5}{x}$，
將它與y=x組成方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{5}{x}}\end{array}\right.$，
解得x=$\sqrt{5}$，x=-$\sqrt{5}$（負值舍去）．
代入y=x得，y=$\sqrt{5}$，
A點坐標為（$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），
OA=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
BC=$\sqrt{（5-0）^{2}+（1+4）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵BC的解析式為y=x-4，
∴E（4，0），
∵B（0，-4），
∴BE=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
設BE邊上的高為h，
$4\sqrt{2}$h×$\frac{1}{2}$=4×4×$\frac{1}{2}$，
解得：h=2$\sqrt{2}$，
則梯形AOBC高為：2$\sqrt{2}$，
梯形AOBC面積為：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（$\sqrt{10}$+5$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{5}$+10，
故答案為：2$\sqrt{5}$+10．

點評 此題主要考查了反比例函數與一次函數、勾股定理、以及三角形面積、梯形面積，關鍵是求出反比例函數解析式，梯形AOBC的高．