Question

20．如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD交于O點，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED為矩形；
（2）在BC截取CF=CO，連接OF，若AC=8，BD=6，求四邊形OFCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對邊得出是平行四邊形，再根據(jù)AC⊥BD證明出四邊形OCED為矩形；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形中的三角函數(shù)進(jìn)行計算，問題得解．

解答 （1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED為平行四邊形．                   
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠DOC=90°．
∴四邊形OCED為矩形．
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC與BD互相垂直平分于點O，
∴OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=3，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴S_△DOC=$\frac{1}{2}OD•OC$=$\frac{1}{2}×3×4$=6．            
在Rt△OBC中，
BC=$\sqrt{O{B^2}+O{C^2}}$=5，sin∠OCB=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{3}{5}$．
作FH⊥OC于點H，
在Rt△CFH中，CF=CO=4，sin∠HCF=$\frac{FH}{FC}$=$\frac{3}{5}$，
∴FH=$\frac{3}{5}$CF=$\frac{12}{5}$．                             
∴S_△OCF=$\frac{1}{2}OC•FH$=$\frac{1}{2}×4×\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．
∴S_{四邊形OFCD}=S_△DOC+S_△OCF=6+$\frac{24}{5}$=$\frac{54}{5}$．

點評 此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)．此題難度不大，注意證得四邊形CODE是矩形是解此題的關(guān)鍵．