Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．AB=13，CD∥AB．點(diǎn)E為射線CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），聯(lián)結(jié)AE，交邊BC于點(diǎn)F，∠BAE的平分線交BC于點(diǎn)G．
（1）當(dāng)時(shí)CE=3，求S_△CEF：S_△CAF的值；
（2）設(shè)CE=x，AE=y，當(dāng)CG=2GB時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)AC=5時(shí)，聯(lián)結(jié)EG，若△AEG為直角三角形，求BG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)C作CH⊥AE于H，根據(jù)等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底的比，求出EF：AF即可；
（2）延長(zhǎng)AG交射線CD于點(diǎn)K，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分∠AGE=90°、∠AEG=90°兩種情況進(jìn)行解答，求出BG的長(zhǎng)．

解答 解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥AE于H，

∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CAF}}$=$\frac{\frac{1}{2}EF•CH}{\frac{1}{2}AF•CH}$=$\frac{EF}{AF}$，
∵CD∥AB，∴$\frac{EF}{AF}=\frac{CE}{AB}$，
∵CE=3，AB=13，∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{3}{13}$，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CAF}}$=$\frac{3}{13}$．
（2）延長(zhǎng)AG交射線CD于點(diǎn)K，

∵CD∥AB，
∴∠EKA=∠KAB，
∵AG平分∠BAE，
∴∠EAK=∠KAB，
∴∠EKA=∠EAK，
∴AE=EK，
∵CE=x，AE=y，
∴CK=CE+EK=CE+AE=x+y，
∵CD∥AB，
∴$\frac{CK}{AB}$=$\frac{CG}{GB}$，
∵CG=2GB，
∴$\frac{CK}{AB}$=2，
∴$\frac{x+y}{13}=2$，
∴y=26-x．
（3）由題意，得：BC=12，
①當(dāng)∠AGE=90°時(shí)，則AG=GK，
∵CD∥AB，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=6．
②當(dāng)∠AEG=90°時(shí)，則△ACF∽△GEF，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{EF}{FG}$，∠CFE=∠AFG，
∴△ECF∽△GAF，
∴∠ECF=∠FAG，
又∵∠FAG=∠GAB，∠ECF=∠B，
∴∠B=∠GAB，∴GA=GB，
過點(diǎn)G作GN⊥AB于N，∴BN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{13}{2}$，
∴BG=$\frac{13}{12}$BN=$\frac{169}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的綜合應(yīng)用，靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，本題可以提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力、邏輯思維能力．