Question

3．如圖，點(diǎn)A（-2，5）和點(diǎn)B（-5，a）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，直線(xiàn)y=x+b分別交x軸的正半軸于點(diǎn)D，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，且AB=CD．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A、C、D三點(diǎn)．
（1）求a、k的值及直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)及二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）如果點(diǎn)E在第四象限的二次函數(shù)圖象上，且∠OCE=∠BDC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{k}{x}$由A的坐標(biāo)可求出k的值，B的橫坐標(biāo)已知，所以可求出縱坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y=mx+n，分別把A，B坐標(biāo)代入求出m和n的值即可；
（2）由直線(xiàn)CD的表達(dá)式為y=x+b，得到點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，根據(jù)AB=CD，列出等式即可求出b的值，然后把點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式即可求出；
（3）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a₁x²+b₁x-3，由已知條件易求a₁和b₁的值，作EF⊥y軸，BG⊥y軸，垂足分別為F、G．設(shè)CF=3t，則EF=5t，OF=3-3t，代入拋物線(xiàn)的解析式求出t的值即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-2，5）和點(diǎn)B（-5，a）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴5=$\frac{k}{-2}$，∴k=-10，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{-10}{x}$，
a=$\frac{-10}{-5}$=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-5，2），
設(shè)直線(xiàn)AB的表達(dá)式為：y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{5=-2m+n}\\{2=-5m+n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=7}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AB的表達(dá)式為：y=x+7，

（2）在y=x+b中，令x=0，y=b，令y=0，x=-b，
∴C（0，b），D（-b，0）
∵CD=AB，
∴CD²=AB²，
∴b²+b²=（-5+2）²+（2-5）²，
∴b=±3，∵b＜0，∴b=-3，
∴點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是（0，-3）、（3，0），
設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a₁x²+b₁x-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5={4a}_{1}-{2b}_{1}-3}\\{0={9a}_{1}+{3b}_{1}-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{_{1}=-2}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3，

（3）作EF⊥y軸，BG⊥y軸，垂足分別為F、G
∵B（-5，2），C（0，-3），D（3，0），
∴OC=OD，BG=CG，
∴∠BCG=∠OCD=45°，
∴∠BCD=90°，
∵∠OCE=∠BDC，
∴tan∠OCE=tan∠BDC=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{5}{3}$，
設(shè)CF=3t，則EF=5t，OF=3-3t
∴點(diǎn)E（5t，3t-3）…（11分）
∴3t-3=25t²-10t-3，
∴t₁=0，t₂=$\frac{13}{25}$，
∴點(diǎn)E（$\frac{13}{5}$，-$\frac{36}{25}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角形的運(yùn)用和兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．