Question

17．如圖1，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，M、N分別是邊AD、BC上的任意一點，聯(lián)結(jié)AN、DN，點E、F分別在線段AN、DN上，且ME∥DN，MF∥AN，聯(lián)結(jié)EF．
（1）如圖2，如果EF∥BC，求EF的長；
（2）如果四邊形MENF的面積是△ADN的面積的$\frac{3}{8}$，求AM的長；
（3）如果BC=10，試探索△ABN、△AND、△DNC能否兩兩相似？如果能，求AN的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行線分線段成比例得到EF是△AND的中位線，利用三角形中位線定理進行解答即可；
（2）設(shè)AM=x．利用（1）中相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{{S}_{△AME}}{{S}_{△ADN}}$=$（\frac{AM}{AD}）^{2}$=$\frac{{x}^{2}}{16}$，$\frac{{{S}_{△}}_{DMF}}{{S}_{△ADN}}$=$（\frac{DM}{AD}）^{2}$=$\frac{（4-x）^{2}}{16}$，利用圖中相關(guān)圖形的面積間的數(shù)量關(guān)系和已知條件列出關(guān)于x的方程[1-$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{（4-x）^{2}}{16}$]S_△AND=$\frac{3}{2}$S_△AND．由此求得x的值；
（3）如答圖2，過點A作AP⊥BC于P，過點D作DQ⊥BC于Q．需要分類討論：當△ABN∽△DCN、△ABN∽△NCD兩種情況，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得BN=CN=5，然后利用勾股定理計算AM的長度．

解答 解：（1）如答圖1，∵EF∥BC，AD∥BC，
∴EF∥AD，
又∵ME∥DN，MF∥AN，
∴$\frac{NE}{AN}$=$\frac{FN}{ND}$=$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AE}{AN}$，
∴AE=EN．
同理，NF=FD，
∴EF是△AND的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=2；

（2）設(shè)AM=x．
則$\frac{{S}_{△AME}}{{S}_{△ADN}}$=$（\frac{AM}{AD}）^{2}$=$\frac{{x}^{2}}{16}$，$\frac{{{S}_{△}}_{DMF}}{{S}_{△ADN}}$=$（\frac{DM}{AD}）^{2}$=$\frac{（4-x）^{2}}{16}$，
∴S_{四邊形MENF}=[1-$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{（4-x）^{2}}{16}$]S_△AND=$\frac{3}{8}$S_△AND．
解得 x₁=1，x₂=3，
∴AM的長度是1或3；

（3）如答圖2，過點A作AP⊥BC于P，過點D作DQ⊥BC于Q，
則PQ=AD=4，BP=CQ=3．
當△ABN∽△DCN時，$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BN}{CN}$=1，
∴BN=CN=5．
∴DN=AN=$\sqrt{A{P}^{2}+N{P}^{2}}$=$2\sqrt{5}$．
又$\frac{AD}{AN}$=$\frac{AN}{AB}$=$\frac{DN}{BN}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴△NAD∽△BAN∽△CDN．
當△ABN∽△NCD時，$\frac{AB}{CN}$=$\frac{BN}{CD}$，
解得BN=CN=5，
∴DN=AN=$\sqrt{A{P}^{2}+N{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
綜上所述，當△ABN、△AND、△DNC兩兩相似時，AN=$2\sqrt{5}$．

點評 本題考查了相似綜合題．該題綜合性比較強，涉及到了三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點，解題時，運用了“數(shù)形結(jié)合”和“分類討論”的數(shù)學(xué)思想．