Question

12．問(wèn)題提出：數(shù)學(xué)課本上有這樣一道題目：如圖①，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm．把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？
初步思考：
（1）試計(jì)算出正方形零件的邊長(zhǎng)；
深入探究：
（2）李華同學(xué)通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)如果要把△ABC按照?qǐng)D②加工成三個(gè)相同大小的正方形零件，△ABC的邊BC與高AD需要滿足一定的數(shù)量關(guān)系．則這一數(shù)量關(guān)系是：AD=BC．（直接寫出結(jié)論，不用說(shuō)明理由）；
（3）若△ABC可以按照?qǐng)D③加工成四個(gè)大小相同的正方形，且∠B=30°，求證：AB=BC．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為x mm，則KD=EF=x，AK=80-x，根據(jù)EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解方程即可得到結(jié)果；
（2）BC=AD，如圖2由已知條件得：EF∥GH∥BC，通過(guò)△GBN≌△EGM，得到EG=BG，根據(jù)△AEF∽△AGH，得到比例式$\frac{AE}{AG}=\frac{EF}{GH}=\frac{1}{2}$，證得AE=EG，于是得到AE=EG=GB，再由△AEF∽△ABC，得到比例式$\frac{AP}{AD}=\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，即可得到結(jié)論．
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，分別交EF、GH于點(diǎn)M、N，設(shè)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)EF∥GH∥BC，推出△AEF∽△AGH∽△ABC，于是得到$\frac{AM}{EF}=\frac{AN}{GH}=\frac{AD}{BC}$，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為x mm，則KD=EF=x，AK=80-x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$，
∴$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，
解得x=48．
答：正方形零件的邊長(zhǎng)為48mm．

（2）BC=AD，
如圖2由已知條件得：EF∥GH∥BC，
在△GBN與△EGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGM=∠B}\\{∠EMG=∠GNB}\\{EM=GN}\end{array}\right.$，
∴△GBN≌△EGM，
∴EG=BG，
∵△AEF∽△AGH，
∴$\frac{AE}{AG}=\frac{EF}{GH}=\frac{1}{2}$，
∴AE=EG，
∴AE=EG=GB，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，
∵PD=2x，
∴AD=3x，BC=3x，
∴AD=BC，
故答案為：AD=BC；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，分別交EF、GH于點(diǎn)M、N，
設(shè)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a，
∵EF∥GH∥BC，
∴△AEF∽△AGH∽△ABC，
∴$\frac{AM}{EF}=\frac{AN}{GH}=\frac{AD}{BC}$，
∴$\frac{AD-2a}{a}=\frac{AD-a}{3a}=\frac{AD}{BC}$，
解得AD=2.5a，BC=5a，
∴BC=2AD．
∵∠B=30°，AD⊥BC，
∴AB=2AD，
∴AB=BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．