Question

2．如圖所示，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0）的圖象經(jīng)過點A（1，4）和點B（a，b），其中a＞1，過點A作x軸的垂線，垂點為C，過點B作y軸的垂線，垂足為D，AC與BD相交于點E，連接AD，DC，CB．
（1）求證：DC∥AB；
（2）當AB=CD時，判斷四邊形ABCD的形狀，并求這時直線AB的表達式．

Answer 1

分析 （1）由條件可先求得反比例函數(shù)解析式，可用a表示出B點坐標，依題意可證$\frac{BE}{DE}$=a-1，$\frac{AE}{CE}$=a-1，$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，可證得DC∥AB；
（2）由于DC∥AB，當AD=BC時，有兩種情況：
①當AD∥BC時，四邊形ADCB是平行四邊形，由（2）得，點B的坐標是（2，2），設直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，用待定系數(shù)法可以求出解析式（把點A，B的坐標代入），是y=-2x+6．
②當AD與BC所在直線不平行時，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，可求點B的坐標是（4，1），設直線AB的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b，用待定系數(shù)法可以求出解析式（把點A，B的坐標代入），是y=-x+5．

解答 （1）證明：∵函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常數(shù)）圖象經(jīng)過A（1，4），
∴k=4．
∴y=$\frac{4}{x}$，
設BD，AC交于點E，據(jù)題意，可得B點的坐標為（a，$\frac{4}{a}$）
∴點C的坐標為（1，0），DE=1，
∵a＞1，
∴EC=$\frac{4}{a}$，BE=a-1，
∴$\frac{BE}{DE}$=a-1，$\frac{AE}{CE}$=a-1，即$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，
又∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠BAE=∠DCE，
∴DC∥AB；
（2）解：∵DC∥AB，
∴當AD=BC時，有兩種情況：
①當AD∥BC時，四邊形ADCB是平行四邊形，由（2）得，$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$=a-1，
∴a-1=1，得a=2．
∴點B的坐標是（2，2）．
設直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點A，B的坐標代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{2=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$．
故直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6．
②當AD與BC所在直線不平行時，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，
∴a=4，
∴點B的坐標是（4，1）．
設直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點A，B的坐標代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
故直線AB的函數(shù)解析式是y=-x+5．
綜上所述，所求直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6或y=-x+5．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定、平行四邊形的判定等知識點．在（1）中用B點的坐標分別表示出相應線段的長，利用相似三角形的性質(zhì)證明∠BAE=∠DCE是解題的關鍵，在（2）中注意分類討論的應用，分兩種情況分別求得直線AB的解析式．本題所考查知識點較基礎，難度適中．