Question

19．解方程x⁴-6x²+5=0這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，我們通�？梢赃@樣來解：設(shè)x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可變?yōu)閥²-6y+5=0…①，解這個(gè)方程得：y₁=1，y₂=5．當(dāng)y=1時(shí)，x²=1，∴x=±1；當(dāng)y=5時(shí)，x²=5，∴x=±$\sqrt{5}$．所以原方程有四個(gè)根：x₁=1，x₂=-1，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$．
（1）這一解法在由原方程得到方程①的過程中，利用了換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
（2）參照上面解題的思想方法解方程：（$\frac{x}{{x}^{2}-1}$）²-$\frac{5x}{{x}^{2}-1}$+6=0．

Answer 1

分析 （1）用一個(gè)字母表示一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式的方法叫換元法．
（2）用y代替$\frac{x}{{x}^{2}-1}$，然后解關(guān)于y的一元二次方程，求得y的值后，再來求關(guān)于x的分式方程，注意要驗(yàn)根．

解答 解：（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
故答案是：換元；轉(zhuǎn)化；

（2）設(shè)y=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$，則由原方程得到：y²-5y+6=0，
整理，得
（y-3）（y-2）=0，
解得y=3或y=2．
當(dāng)y=3時(shí)，$\frac{x}{{x}^{2}-1}$=3，即3x²-x-3=0，則x=$\frac{1±\sqrt{37}}{6}$，解得x₁=$\frac{1+\sqrt{37}}{6}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{37}}{6}$，
經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的根；
當(dāng)y=2時(shí)，$\frac{x}{{x}^{2}-1}$=2，即2x²-x-2=0，則x=$\frac{1±\sqrt{17}}{4}$，解得x₃=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，x₄=$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$，
經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的根；
綜上所述，原方程的根為：x₁=$\frac{1+\sqrt{37}}{6}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{37}}{6}$，x₃=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，x₄=$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了換元法，即把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量替換．