Question

12．已知△ABC中，BC=8．將△ABC沿BC方向向右平移2個單位長度，得到△DEF．
（1）如圖1，在不添加其他任何線的條件下，寫出圖中的平行四邊形有?ABED、?ACFD．（請用符號表示出圖中的平行四邊形）
（2）如圖2．點P、Q是兩個動點，點P從點A出發(fā)，沿射線AD以每秒1個單位長度的速度運動，同時點Q從點F出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向點B運動．到達點B后立即原速返回點F，點Q回到點F時兩個動點停止運動．設點Q的運動時間為t秒．
①求t為何值時，以點A、B、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形．
②若點M是DF的中點，那么t=4.4秒時，PQ恰好過點M．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平移的性質(zhì)：對應線段相等，得：AD=BE，AB=DE，則四邊形ABED是平行四邊形，同理得：四邊形ACFD是平行四邊形；所以圖1中有2個平行四邊形：是?ABED、?ACFD；
（2）先根據(jù)兩個動點的速度和時間表示其路程：AP=1×t=t，因為動點Q是從F→B→F，所以點Q的路程有點復雜，要分別表示為：F→B時，0＜t≤2.5，F(xiàn)Q=4t，BQ=10-4t；B→F時，當2.5＜t≤5時，F(xiàn)Q=20-4t，BQ=10-（20-4t），再由點A、B、Q、P為頂點組成平行四邊形時，滿足AP=BQ，列方程即可；
（3）首先根據(jù)點M是DF的中點，證明△DMP≌△FMQ，PD=FQ，由此列方程可得出結論．

解答 解：（1）①四邊形ABED是平行四邊形，理由是：
由平移得：AD=BE，AB=DE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
②同理得：四邊形ACFD是平行四邊形；
故答案為：?ABED、?ACFD；
（2）由題意得：AP=t，
當0＜t≤2.5時，F(xiàn)Q=4t，BQ=10-4t，
當2.5＜t≤5時，F(xiàn)Q=20-4t，BQ=10-（20-4t），
∵AP∥BQ，
∴當AP=BQ時，四邊形ABQP是平行四邊形，
即t=10-4t或t=10-（20-4t），
t=2或t=$\frac{10}{3}$，
則t=2或t=$\frac{10}{3}$時，以點A、B、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3）如圖3，
∵點M是DF的中點，
∴DM=FM，
∵AP∥BQ，
∴∠APM=∠FQM，
在△DMP和△FMQ中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠APM=∠FQM}\\{∠DMP=∠FMQ}\\{DM=FM}\end{array}\right.$，
∴△DMP≌△FMQ（AAS），
∴PD=FQ，
即t-2=4t或t-2=20-4t，
t₁=-$\frac{2}{3}$（舍），t₂=4.4，
∴若點M是DF的中點，那么t=4.4時，PQ恰好過點M，
故答案為：4.4秒．

點評 本題是四邊形的綜合題，也是平移變換和動點的綜合問題，難度適中；熟記平移前后兩圖形的對應點的連線平行且相等，本題除了根據(jù)動點的速度、時間表示其路程外，還要注意點Q是往返路程，因此FQ和BQ在兩類時間上，所表示的關于t的式子不同．