Question

10．如圖，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象與一次函數(shù)圖象y=-x+4交于A、B兩點，點A的縱坐標為3．
（1）求反比例函數(shù)的解析；
（2）y軸上是否存在一點P，使∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A在y=-x+4上，且點A的縱坐標為3，于是得到A（3，1），由于點A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到OA=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，根據(jù)∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB，于是推出點P在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓上，得到OP=$\sqrt{10}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵A在y=-x+4上，且點A的縱坐標為3，得
點A（3，1），
∵點A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，得k=3，
∴反比例函數(shù)的解析為：y=$\frac{3}{x}$；

（2）∵A（1，3），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵OA=OB，
∵∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴點P在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓上，
∴OP=$\sqrt{10}$，
∵點P在y軸上，
∴P（0，$\sqrt{10}$）或P（0，$-\sqrt{10}$）．

點評 考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，圓周角定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．