Question

8．一張矩形紙片，剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第二次操作…若在第 n 次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形．如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形．
1．判斷與操作：
如圖2，矩形ABCD的長為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？
如果是，請寫出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫出裁剪線；如果不是，請說明理由．
2．探究與計算：
已知矩形ABCD的一邊長為20，另一邊長為a（a＜20），且它是3階奇異矩形，請畫出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫出a的值．

Answer 1

分析 1、根據(jù)已知操作步驟畫出即可；
2、找出第一、二次操作后剩下矩形的兩邊長度，令其一邊為另一邊的二倍，解關(guān)于a的一元一次方程即可得出結(jié)論．

解答 解：1．判斷與操作：
矩形ABCD是3階奇異矩形，裁剪線的示意圖如1所示：
2．探究與計算：
第一次操作后剩下的矩形的兩邊長度為a、（20-a），
第二次操作后剩下的矩形的兩邊長度為（20-2a）、a或（2a-20），（20-a），
∵矩形ABCD是3階奇異矩形，
∴有①20-2a=2a，②a=2（20-2a），③20-a=2（2a-20），④2a-20=2（20-a），
解得：a₁=5，a₂=8，a₃=12，a₄=15．
裁剪線的示意圖如2①、2②、2③、2④所示：

點評 本題是四邊形綜合題目，主要考查了矩形性質(zhì)、正方形性質(zhì)、作圖與應(yīng)用設(shè)計作圖、尋找規(guī)律的應(yīng)用等知識，本題綜合性強，有一定難度，注意數(shù)據(jù)的特點和分類討論思想的滲透．