Question

14．如圖，我市某中學在創(chuàng)建“特色校園”的活動中，將奉校的辦學理念做成宣傳牌（CD），放置在教學樓的頂部（如圖所示）該中學數(shù)學活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿坡面AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：$\sqrt{3}$，AB=10米，AE=15米．（i=1：$\sqrt{3}$是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比）
（1）求點B距水平而AE的高度BH；
（2）求宣傳牌CD的高度．
（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH=$\frac{BH}{AH}$=i=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．得到∠BAH=30°，于是得到結(jié)果BH=AB．sin∠BAH=10．sin30°=10×$\frac{1}{2}$=5；
（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5$\sqrt{3}$，在Rt△ADE中，tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}$，即tan60°=$\frac{DE}{15}$，得到DE=15$\sqrt{3}$，如圖，過點B作BF⊥CE，垂足為F，求出BF=AH+AE=5$\sqrt{3}$+15，于是得到DF=DE-EF=DE-BH=15$\sqrt{3}$-5，在Rt△BCF中，∠C=90°-∠CBF=90°-45°=45°，求得∠C=∠CBF=45°，得出CF=BF=5$\sqrt{3}$+15，即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH=$\frac{BH}{AH}$=i=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB．sin∠BAH=10．sin30°=10×$\frac{1}{2}$=5．
答：點B距水平面AE的高度BH是5米；

（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5$\sqrt{3}$，
在Rt△ADE中，tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}$，
即tan60°=$\frac{DE}{15}$，∴DE=15$\sqrt{3}$，
如圖，過點B作BF⊥CE，垂足為F，
∴BF=AH+AE=5$\sqrt{3}$+15，
DF=DE-EF=DE-BH=15$\sqrt{3}$-5，
在Rt△BCF中，∠C=90°-∠CBF=90°-45°=45°，
∴∠C=∠CBF=45°，
∴CF=BF=5$\sqrt{3}$+15，
∴CD=CF-DF=5$\sqrt{3}$+15-（15$\sqrt{3}$-5）=20-10$\sqrt{3}$≈20-10×1.732≈2.7（米），
答：廣告牌CD的高度約為2.7米．

點評 本題考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關鍵．