Question

6．已知關(guān)于x的一元二次方程（x-k）²-2x+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，代數(shù)式x₁²+x₂²-x₁•x₂+1取得最小值，并求出該最小值．

Answer 1

分析 （1）先把方程整理為一般式，然后計(jì)算判別式的值得到△=4＞0，于是根據(jù)判別式的意義可得k為任意實(shí)數(shù)；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2k，則x₁²+x₂²-x₁•x₂+1=（x₁+x₂）²-3x₁x₂+1=4（k+1）²-3（k²+2k）+1，然后整理后配方得到（k+1）²+4，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定最小值．

解答 解：（1）方程整理得x²-2（k+1）+k²+2k=0，
∵△=4（k+1）²-4（k²+2k）=4＞0，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是任意實(shí)數(shù)；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2k，
x₁²+x₂²-x₁•x₂+1=（x₁+x₂）²-3x₁x₂+1=4（k+1）²-3（k²+2k）+1=k²+2k+5=（k+1）²+4，
當(dāng)k=-1時(shí)，代數(shù)式x₁²+x₂²-x₁•x₂+1取得最小值，該最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了判別式的意義．