Question

15．如圖，直角三角形ABC中，AB=4，AC=5，BC=3，D、E分別為AB和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在某一特殊位置使得線段DE既平分△ABC的面積又平分△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 △ABC的面積=$\frac{1}{2}$×3×4=6，設(shè)BE為x，由線段DE平分△ABC的面積得出BD=$\frac{6}{x}$，根據(jù)平分△ABC的周長(zhǎng)建立方程求得方程的解即可．

解答 解：存在某一特殊位置使得線段DE既平分△ABC的面積又平分△ABC的周長(zhǎng)．
理由：△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
設(shè)BE為x，由題意得
x+$\frac{6}{x}$=$\frac{1}{2}$×（3+4+5）
解得：x₁=3+$\sqrt{3}$（BC=3，不合題意，舍去），x₂=3-$\sqrt{3}$，
則BD=$\frac{6}{x}$=3+$\sqrt{3}$，
所以當(dāng)DE=3-$\sqrt{3}$，BD=3+$\sqrt{3}$線段DE既平分△ABC的面積又平分△ABC的周長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng) 此題考查一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，掌握三角形的面積與周長(zhǎng)計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．