Question

6．如圖，邊長為4$\sqrt{2}$的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，AM是⊙O的內(nèi)接正十二邊形的一邊，求CM的長．

Answer 1

分析 連接AC、OM，作MH⊥AC于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AC是⊙O的直徑、求出AC的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出MH=$\frac{1}{2}$OM，根據(jù)勾股定理求出答案．

解答 解：連接AC、OM，作MH⊥AC于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
∴AC為⊙O的直徑，且AC=8，
∵AM是⊙O的內(nèi)接正十二邊形的一邊，
∴∠AOM=$\frac{360°}{12}$=30°，
∴MH=$\frac{1}{2}$OM=2，
由勾股定理得，OH=$\sqrt{O{M}^{2}-M{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
則CH=4+2$\sqrt{3}$，
∴CM=$\sqrt{C{H}^{2}+M{N}^{2}}$
=$\sqrt{32+16\sqrt{3}}$
=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算，掌握正多邊形的中心角的求法、直徑所對的圓周角是直角和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．