Question

12．如圖，已知斜坡AP的坡度為i=1：$\sqrt{3}$，坡長AP為20m，與坡頂A處在同-水平面上有-座古塔BC，在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，在坡頂A處測得該塔的塔頂B的仰角α且tanα=3．求：
（1）求坡頂A到地面PQ的距離；
（2）古塔BC的高度（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）作AE⊥PQ于點E，設(shè)AE為xm，根據(jù)坡度的概念用x表示出PE，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；
（2）延長BC交PQ于點F，設(shè)AC=ym，根據(jù)正切的定義表示出BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BF=PF，列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）作AE⊥PQ于點E，
∵斜坡AP的坡度為i=1：$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
設(shè)AE為xm，則PE為$\sqrt{3}$xm，
由勾股定理得，AP=2x，
由題意得2x=20，
解得，x=10，
則AE=10m，PE=10$\sqrt{3}$m，
答：坡頂A到地面PQ的距離為10m；
（2）延長BC交PQ于點F，
設(shè)AC=ym，
∵tanα=3，
∴BC=3y，
∵∠BPF=45°，
∴PF=BF，
∴10$\sqrt{3}$+y=3y+10，
解得y=5$\sqrt{3}$-5，
則BC=3y=15$\sqrt{3}$-15．
答：古塔BC的高度為（15$\sqrt{3}$-15）m．

點評 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、仰角俯角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比、理解仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．