Question

4．如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D與B重合，折痕為EF，然后展開，連接DF，BE．
（1）求證：四邊形EBFD是菱形；
（2）已知AB=3，AD=9，求折痕EF的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，∠DEF=∠BFE，由折疊的性質(zhì)得出BE=DE，∠BEF=∠DEF，證出∠BEF=∠BFE，得出BE=BF，因此DE=BF，即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得出BF=BE=DE，設(shè)BE=x，則BF=DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BF=5，AE=4，作EM⊥BC于M，則EM=AB=3，BM=AE=4，得出MF=BF-BM=1，再由勾股定理求出EF即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
由折疊的性質(zhì)得：BE=DE，∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
又∵BE=DE，
∴四邊形EBFD是菱形；
（2）解：由（1）得：四邊形EBFD是菱形，
∴BF=BE，
設(shè)BE=x，則BF=DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，
則3²+（9-x）²=x²，
解得：x=5．
∴BF=BE=5，AE=4，
作EM⊥BC于M，
如圖所示，則EM=AB=3，BM=AE=4，
∴MF=BF-BM=1，
∴EF=$\sqrt{E{M}^{2}+M{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解決問題（2）的關(guān)鍵．