Question

15．如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，延長BN交AC于點(diǎn)D，已知AB=6，BC=8，MN=2．
（1）求證：BN=DN；
（2）求△ABC的周長；
（3）△ABC是不是直角三角形，為什么？

Answer 1

分析 （1）證明△ABN≌△ADN，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷MN是△BDC的中位線，從而得出CD，由（1）可得AD=AB=6，從而計(jì)算周長即可；
（3）直接根據(jù)勾股定理進(jìn)行判斷即可．

解答 （1）證明：在△ABN和△ADN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AN=AN}\\{∠ANB=∠AND}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ADN（ASA），
∴BN=DN．

（2）解：∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=6，
又∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，
∴MN是△BDC的中位線，
∴CD=2MN=4，
∴△ABC的周長=AB+BC+CD+AD=6+8+4+6=24；

（3）解：∵AB=6，△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=6．
∵CD=4，
∴AC=AD+CD=6+4=10，
∵6²+8²=10²，即AB²+BC²=AC²，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的中位線定理及等腰三角形的判定，注意培養(yǎng)自己的敏感性，一般出現(xiàn)高、角平分線重合的情況，都需要找到等腰三角形．