Question

5．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直線是BC的垂直平分線，E為垂足，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．求證：
（1）BM=CN；
（2）AM=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

Answer 1

分析 （1）連接BD，利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出BD=CD，利用角平分線的性質(zhì)得出DM=DN，進(jìn)而證明△BMD與△CDN全等即可；
（2）利用△BMD與△CDN全等得出BM=CN，進(jìn)而證明即可．

解答 證明：（1）連接BD，如圖：

∵DE所在直線是BC的垂直平分線，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
∴DM=DN，
在Rt△BMD與Rt△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），
∴BM=CN；
（2）∵Rt△BMD≌Rt△CDN，
∴BM=CN，AM=AN，
∴AB+AC=AM+BM+AN-CN=2AM，
∴AM=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證明△BMD與△CDN全等．