Question

10．已知△ACB為等腰直角三角形，點(diǎn)P在BC上，以AP為邊長作正方形APEF．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，求∠EBP；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時，求∠EBP．

Answer 1

分析 （1）過E作CB垂線，交延長線于點(diǎn)M，可證△ACP≌△PEM，得出EM=PC，AC=PM，得出BM=EM，得出∠EBM=45°，求得∠EBP；
（2）類比（1）的方法同樣過E作CB垂線，垂足M，最后得出BM=EM，得出∠EBM=45°得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，

過E作CB垂線，交延長線于點(diǎn)M，
∵四邊形APEF是正方形，
∴∠APE=90°，AP=PE，
∵∠APC+∠PAC=∠APC+∠EPM=90°，
∴∠PAC=∠EPM，
在△ACP和△PEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAC=∠EPM}\\{∠C=∠M}\\{AP=PE}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△PEM，
∴AC=MP，PC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=MP，
∴PC=BM，
∴BM=EM，
∴∠EBM=45°，
∴∠EBP=135°．
（2）如圖，

作EM⊥CB，垂足為M，
∵四邊形APEF是正方形，
∴∠APE=90°，AP=PE，
∵∠APC+∠PAC=∠APC+∠EPM=90°，
∴∠PAC=∠EPM，
在△ACP和△PEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAC=∠EPM}\\{∠C=∠M}\\{AP=PE}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△PEM，
∴AC=MP，PC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=MP，
∴PC=BM，
∴BM=EM，
∴∠EBM=45°．

點(diǎn)評 此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，利用三角形全等的證明方法得出三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．