Question

15．如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB垂直于CD，垂足為H，∠EAD=∠HAD．
（1）求證：AE為⊙O的切線；
（2）延長AE與CD的延長線交于點P，過D 作DE⊥AP，垂足為E，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半徑和DE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OA，根據(jù)垂線的定義結(jié)合角的計算，即可得出∠EAD+∠OAD=90°，從而得出OA⊥AE，再由點A在圓上，即可證出AE為⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為x，在Rt△AOP中，利用勾股定理可求出x的值，再由DE⊥AP，得出OA∥DE，進而可得出△PED∽△PAO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出DE的長度．

解答 （1）證明：連結(jié)OA，如圖所示．
∵AB⊥CD，
∴∠AHD=90°，
∴∠HAD+∠ODA=90°．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
又∵∠EAD=∠HAD，
∴∠EAD+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE．
又∵點A在圓上，
∵AE為⊙O的切線．

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為x，在Rt△AOP中，
OA²+AP²=OP²，即x²+2²=（x+1）²，
解得：x=1.5，
∴⊙O的半徑為1.5．
∵DE⊥AP，OA⊥AP，
∴OA∥DE，
∴△PED∽△PAO，
∴$\frac{DP}{PO}$=$\frac{DE}{AO}$，即$\frac{1}{2.5}$=$\frac{DE}{1.5}$，
解得：DE=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）通過角的計算找出∠EAD+∠OAD=90°；（2）利用勾股定理求出圓的半徑，并利用相似三角形的性質(zhì)求出DE的長度．