Question

17．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直線MN對(duì)折，使A、C重合，直線MN交AC于O．
（1）請(qǐng)用兩個(gè)三角形相似的方法求線段OM的長(zhǎng)度．
（2）請(qǐng)使用銳角三角函數(shù)的方法求線段OM的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性質(zhì)可知AB⊥MN，然后根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明△COM∽△CBA，先求得AC的長(zhǎng)，由翻折的性質(zhì)可知OC=$\frac{1}{2}$AC，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)在Rt△ABC中，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$，在Rt△MOC中，tan∠MCO=$\frac{OM}{OC}$，所以$\frac{AB}{BC}=\frac{OM}{OC}$，即可解答．

解答 解：（1）由翻折的性質(zhì)可知：AC⊥MN，
∴∠MOC=∠B=90°．
又∵∠OCM=∠BCA，
∴△COM∽△CBA．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10．
由翻折的性質(zhì)可知：OC=$\frac{1}{2}$AC=5．
∵△COM∽△CBA，
∴$\frac{OM}{AB}=\frac{OC}{BC}$，即$\frac{OM}{6}=\frac{5}{8}$．
解得：OM=$\frac{15}{4}$．
（2）∵在Rt△ABC中，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$，
在Rt△MOC中，tan∠MCO=$\frac{OM}{OC}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{OM}{OC}$
$\frac{6}{8}=\frac{OM}{5}$
∴OM=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是翻折變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．