Question

9．如圖，四邊形OABC是邊長為2的正方形，點(diǎn)P為OA邊上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)O、A不重合），連接CP，過點(diǎn)P作PM⊥CP交AB于點(diǎn)D，且PM=CP，過點(diǎn)M作MN∥OA，交BO于點(diǎn)N，連接ND、BM，設(shè)OP=t．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）試判斷線段MN的長度是否隨點(diǎn)P的位置的變化而改變？并說明理由．
（3）若OP=$\sqrt{2}$AP，求四邊形BMDN的面積S．

Answer 1

分析 （1）作ME⊥x軸于E，根據(jù)正方形的性質(zhì)和題意證明△MPE≌△PCO，得到ME=PO=t，EP=OC=2，得到答案；
（2）連接AM，證明矩形AEMF是正方形和四邊形OAMN是平行四邊形，得到MN=OA，得到答案；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BD的長，根據(jù)四邊形BMDN的面積S=$\frac{1}{2}$MN•BD計(jì)算即可．

解答 解：（1）作ME⊥x軸于E，
則∠MEP=90°，ME∥AB，
∴∠MPE+∠PME=90°，
∵四邊形OABC是正方形，
∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，
∵PM⊥CP，
∴∠MPE+∠CPO=90°，
∴∠PME=∠CPO，
在△MPE和△PCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MEP=∠POC}\\{∠PME=∠CPO}\\{PM=CP}\end{array}\right.$，
∴△MPE≌△PCO（AAS），
∴ME=PO=t，EP=OC=2，
∴OE=t+2，
∴M（t+2，t）；
（2）線段MN的長度不發(fā)生改變；
理由如下：連接AM，
∵M(jìn)N∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°，
∴四邊形AEMF是矩形．
又∵EP=OC=OA，
∴AE=PO=t=ME，
∴矩形AEMF是正方形．
∴∠MAE=45°=∠BOA，
∴AM∥OB，
又∵M(jìn)N∥OA，
∴四邊形OAMN是平行四邊形，
∴MN=OA=2（為定值）；
（3）∵OP=$\sqrt{2}$AP，OA=2，
∴$\sqrt{2}$AP+AP=2，
解得AP=2（$\sqrt{2}$-1），
∴t=OP=2-2（$\sqrt{2}$-1）=2（2-$\sqrt{2}$），
∵M(jìn)E∥AB，
∴△PAD∽△PEM，
∴$\frac{AD}{EM}$=$\frac{PA}{PE}$，即$\frac{AD}{t}$=$\frac{2-t}{2}$，
∴AD=-$\frac{1}{2}$t²+t=-$\frac{1}{2}$×[2（2-$\sqrt{2}$）]²+2（2-$\sqrt{2}$）=6$\sqrt{2}$-8，
∴BD=AB-AD=2-（6$\sqrt{2}$-8）=10-6$\sqrt{2}$，
∵M(jìn)N∥OA，AB⊥OA，
∴MN⊥AB，
∴四邊形BMDN的面積S=$\frac{1}{2}$MN•BD，
=$\frac{1}{2}$×2×（10-6$\sqrt{2}$）
=10-6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，注意坐標(biāo)與圖形的關(guān)系的應(yīng)用以及四邊形的面積公式的應(yīng)用．