Question

9．如圖，等邊三角形ABC中，D為CB延長線上一點，E為BC延長線上點，且滿足∠DAE=120°．
（1）求證：△ADB∽△EAC；
（2）若BD=1，AB=2，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)可知：∠ABC=∠ACB=60°，從而得到∠DBA=∠ECA=120°，然后再證明∠DAB=∠E，從而可證明△ADB∽△EAC；
（2）由相似三角形的性質(zhì)可求得CE的長，然后根據(jù)ED=BD+CB+CE求解即可．

解答 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∴∠DBA=∠ECA=120°．
∵∠DAE=120°，
∴∠D+∠E=60°．
又∵∠D+∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠E．
∴△ADB∽△EAC．
（2）∵△ADB∽△EAC，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{AC}{CE}$，即$\frac{1}{2}=\frac{2}{CE}$．
解得：CE=4．
∴DE=BD+BC+CE=1+2+4=7．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．