Question

15．如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=2$\sqrt{3}$，將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在$\widehat{AB}$上的點D處，折痕交OA于點C，則陰影部分的面積是3π-4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接OD交BC于點E，由翻折的性質(zhì)可知：OE=DE=$\sqrt{3}$，在Rt△OBE中，根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可知∠OBC=30°，然后在Rt△COB中，可求得CO，從而可求得△COB的面積，最后根據(jù)陰影部分的面積=扇形面積-2倍的△COB的面積求解即可．

解答 解：連接OD交BC于點E．
∴扇形的面積=$\frac{1}{4}$×（2$\sqrt{3}$）²π=3π，
∵點O與點D關(guān)于BC對稱，
∴OE=ED=$\sqrt{3}$，OD⊥BC．
在Rt△OBE中，sin∠OBE=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OBC=30°．
在Rt△COB中，$\frac{OC}{OB}$=tan30°，
∴$\frac{OC}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴CO=2．
∴△COB的面積=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$．
陰影部分的面積=扇形面積-2倍的△COB的面積
=3π-4$\sqrt{3}$．
故答案為：3π-4$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)，扇形面積的計算以及特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，根據(jù)翻折的性質(zhì)求得OE的長，然后再求得∠OBC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．