Question

5．在平面直角坐標系中，將拋物線C₁：y=x²平移后得到拋物線C₂，使得拋物線C₂恰好經過拋物線C₁的頂點，且拋物線C₂與x軸有兩個交點，分別記為點A、點B．若AB=2$\sqrt{3}$，拋物線C₂的頂點為點C，則△ABC的周長是（　　）

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 6+2$\sqrt{3}$
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 12$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設拋物線C₂的解析式為y=x²+bx，點A同原點O重合，則點B的坐標為（2$\sqrt{3}$，0）或（-2$\sqrt{3}$，0），當點B的坐標為（2$\sqrt{3}$，0）時，利用待定系數(shù)法可求出拋物線C₂的解析式，進而可找出點C的坐標，利用兩點間的距離公式可求出AC和BC的長度，再依照三角形的周長公式即可求出△ABC的周長；當點B的坐標為（2$\sqrt{3}$，0）時，同理亦可求出△ABC的周長．此題得解．

解答 解：設拋物線C₂的解析式為y=x²+bx，點A同原點O重合，則點B的坐標為（2$\sqrt{3}$，0）或（-2$\sqrt{3}$，0），如圖所示．
當點B的坐標為（2$\sqrt{3}$，0）時，將其代入y=x²+bx中，
0=12+2$\sqrt{3}$b，解得：b=-2$\sqrt{3}$，
∴拋物線C₂的解析式為y=x²-2$\sqrt{3}$x，
∴點C的坐標為（$\sqrt{3}$，-3），
∴AC=BC=$\sqrt{（\sqrt{3}-0）^{2}+（-3-0）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴C_△ABC=AB+AC+BC=6$\sqrt{3}$；
當點B的坐標為（-2$\sqrt{3}$，0）時，同理可求出AC=BC=2$\sqrt{3}$，
∴C_△ABC=AB+AC+BC=6$\sqrt{3}$．
故選C．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象與幾何變換、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及兩點間的距離公式，根據(jù)AB的長度確定點B的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線C₂的解析式是解題的關鍵．