Question

10．如圖，拋物線y=ax²-5ax-6a交x軸于A、B兩點（A左B右），交y軸于點C，直線y=-x+b交拋物線于D，交x軸于E，且△ACE的面積為6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為CD上方拋物線上一點，過點P作x軸的平行線，交直線CD于F，設P點的橫坐標為m，線段PF的長為d，求d與m的函數(shù)關系式；
（3）在（2）的條件下，過點P作PG⊥CD，垂足為G，若∠APG=∠ACO，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把y=0代入拋物線的解析式可求得方程的解，從而可得到點A和點B的坐標，然后依據(jù)△ACE的面積為6可求得b的值，然后可得到點C的坐標，故此可得到a的值；
（2）直線CE的解析式為y=-x+3．設P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3）．然后可求得點F的橫坐標，最后依據(jù)d=PF可得到d與m的函數(shù)關系式；
（3）過點P作PC⊥x軸，垂足為N，過點A作AM⊥PG，垂足為M．然后證明△AMH和△PHN均為等腰直角三角形，設MH=AM=a，然后可求得PN和AN的長，故此可得到tan∠PAN=2或tan∠PAN=$\frac{1}{2}$，然后列出關于m的方程求解即可．

解答 解：（1）把y=0代入y=ax²-5ax-6a得：ax²-5ax-6a=0，
∴a（x-6）（x+1）=0，
∴x=6或x=-1．
∴A（-1，0）、B（6、0）
把y=0代入y=-x+b得：-x+b=0，解得：x=b，把x=0代入y=x+b得：y=b，
∴OC=b，AE=b+1．
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$b（b+1）=6，
解得：b=3或b=-4（舍去）．
∴C（0，3）．
將點C的坐標代入拋物線的解析式得：-6a=3，解得a=-$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+3．

（2）∵b=3，
∴直線CE的解析式為y=-x+3．
設P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3）．
∵PF∥x軸，
∴點F的縱坐標為-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3．
∴-x+3=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3．
∴x=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m．
∴d=PF=m-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{7}{2}$m．

（3）如圖1所示：
∵OA=1，OC=3，
∴tan∠ACO=$\frac{1}{3}$．
∵∠APG=∠ACO，
∴tan∠APG=$\frac{1}{3}$．
如圖1所示：過點P作PC⊥x軸，垂足為N，過點A作AM⊥PG，垂足為M．

∵OC=OE，∠COE=90°，
∴∠CEO=45°．
又∵∠EGH=90°，
∴∠GHO=45°．
∴△AMH為等腰直角三角形．
設MH=AM=a，
∴AH=$\sqrt{2}$a，PH=4a．
在Rt△PHN中，PN=AN=2$\sqrt{2}$a．
∴AN=$\sqrt{2}$a．
∴tan∠PAN=2．
設P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3），則PN=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m+3，AN=m+1，即$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{5}{2}m+3}{m+1}$=2，
解得：m=-1（舍去）或m=2．
∴P（2，6）．
如圖2所示：過點P作PC⊥x軸，垂足為N，過點A作AM⊥PG，垂足為M．

設AM=a，則MP=3a．
∵OC=OE，∠COE=90°，
∴∠CEO=45°．
又∵∠EGH=90°，
∴∠GHO=45°．
∴△AMH為等腰直角三角形．
設MH=AM=a，
∴AH=$\sqrt{2}$a，PH=2a．
在Rt△PHN中，PN=AN=$\sqrt{2}$a．
∴AN=2$\sqrt{2}$a．
∴tan∠PAN=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{5}{2}m+3}{m+1}$=$\frac{1}{2}$．解得：m=-1，m=5，
∴P（5，3）．
綜上所述，點P的坐標為P（2，6）或P（5，3）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質和判定、銳角三角函數(shù)的定義，求得tan∠PAN的值是解題的關鍵．