Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C為圓心，r為半徑畫⊙C，請(qǐng)根據(jù)下列條件，求半徑r的值或取值范圍．
（1）⊙C與斜邊AB有1個(gè)公共交點(diǎn)；
（2）⊙C與斜邊AB有2個(gè)公共交點(diǎn)；
（3）⊙C與斜邊AB沒有公共交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，再分圓與AB相切時(shí)；點(diǎn)A在圓內(nèi)部，點(diǎn)B在圓上或圓外時(shí)，根據(jù)勾股定理以及直角三角形的面積計(jì)算出其斜邊上的高，再根據(jù)位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行求解；
（2）要使圓與斜邊AB有兩個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)滿足直線和圓相交，且半徑不大于AC．要保證相交，只需求得相切時(shí)，圓心到斜邊的距離，即斜邊上的高即可；
（3）根據(jù)⊙C與斜邊AB沒有公共交點(diǎn)可知r＜CD或點(diǎn)B在⊙C的內(nèi)部，據(jù)此可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴CD=$\frac{3×4}{5}$=2.4．
當(dāng)圓與AB相切時(shí)，即r=CD=2.4；
當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)部，點(diǎn)B在圓上或圓外時(shí)，此時(shí)AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r=2.4；

（2）∵BC＞AC，
∴以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜邊AB有兩個(gè)交點(diǎn)，則圓的半徑應(yīng)大于CD，小于或等于AC，
∴r的取值范圍是2.4＜R≤3；

（3）∵⊙C與斜邊AB沒有公共交點(diǎn)，
∴r＜CD或點(diǎn)B在⊙C的內(nèi)部，
∴r＜2.4或r＞4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．