Question

16．如圖，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC交AC于E，過C作CD⊥BE于D，求證：BE=2CD．

Answer 1

分析 延長BA和CD交于Q，證△ABE≌△ACQ，求出BE=CQ，求出∠BDC=∠BDQ=90°，證△QDB≌△CDB，推出CD=DQ即可．

解答 證明：延長BA和CD交于Q，
∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°，
∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°，
∴∠ACQ=∠ABE，
在△ABE和△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ACQ}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAQ}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACQ（ASA），
∴BE=CQ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠QBD=∠CBD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠BDQ=90°，
在△QDB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QBD=∠CBD\\;}\\{BD=BD}\\{∠BDQ=∠BDC}\end{array}\right.$，
∴△QDB≌△CDB（ASA），
∴CD=DQ，
∴CQ=2CD，
∴BE=2CD．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．