Question

1．實驗與操作：
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，將Rt△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到Rt△AB′C′（點B′，C′分別是點B，C的對應點），設旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），旋轉(zhuǎn)過程中直線B′B和線段CC′相交于點D
猜想與證明；
（1）如圖1，當AC′經(jīng)過點B時，探究下列問題：
①此時，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°．②判斷此時四邊形AB′DC的形狀，并證明你的猜想；
（2）如圖2，當旋轉(zhuǎn)角α=90°時，求證：CD=C′D；
（3）如圖3，對任意旋轉(zhuǎn)角0°＜α＜180°，連接AD，判斷線段AD與CC′之間的位置關系（直接寫出結論，不必證明）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，四邊形AB′DC是平行四邊形．只要證明△ABB′，△ACC′是等邊三角形，即可推出AC∥B′D，AB′∥CC′，由此即可解決問題．
（2）如圖2中，設AC與DB′交于點O，連接AD．想辦法證明AD⊥CC′即可解決問題．
（3）結論：AD⊥CC′．證明方法類似（2）．

解答 解：（1）如圖1中，四邊形AB′DC是平行四邊形．理由如下：

∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴∠CAB=∠C′AB′=60°，
∴旋轉(zhuǎn)角為60°，
∵AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′的等邊三角形，
∴∠ABB′=∠CAB=60°，
∴AC∥B′D，
∵AC=AC′，∠CAC′=60°，
∴△CAC′是等邊三角形，
∴∠CC′A=∠B′AC′=60°，
∴AB′∥CC′，
∴四邊形AB′DC是平行四邊形．
故答案為60°

（2）如圖2中，設AC與DB′交于點O，連接AD．

∵AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∴∠AB′B=∠ABB′=∠ACC′=∠AC′C，
∵∠AB′O=OC′D，∠AOB′=∠DOC′，
∴△AOB′∽△DOC′，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{OB′}{OC′}$，∠AB′B=∠ACD，
∴$\frac{AO}{OB′}$=$\frac{DO}{OC′}$，∵∠AOD=∠B′OC′，
∴△AOD∽△B′OC′，
∴∠DAO=∠OB′C′，
∵∠AB′O+∠OB′C′=90°，
∴∠DAO+∠DC′O=90°，
∴∠ADC′=90°，
∴AD⊥CC′，
∵AC=AC′，
∴CD=DC′．

（3）結論：AD⊥CC′．
理由：如圖3中，設AC與DB′交于點O，連接AD．

∵AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∴∠AB′B=∠ABB′=∠ACC′=∠AC′C，
∵∠AB′O=OC′D，∠AOB′=∠DOC′，
∴△AOB′∽△DOC′，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{OB′}{OC′}$，∠AB′B=∠ACD，
∴$\frac{AO}{OB′}$=$\frac{DO}{OC′}$，∵∠AOD=∠B′OC′，
∴△AOD∽△B′OC′，
∴∠DAO=∠OB′C′，
∵∠AB′O+∠OB′C′=90°，
∴∠DAO+∠DC′O=90°，
∴∠ADC′=90°，
∴AD⊥CC′，

點評 本題考查三角形綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．